以下 Tutorial Chapter 2 に従います。
例: 3.141(radian)の正弦(sin)を数値計算
sin(3.141) + Enter
sin Shift + Enter (3.141)
reset()
sin(3.141): + Enter
例: sin(x^2)をxで微分し、その結果を x で(不定)積分
diff(sin(x^2), x); int(%, x)
例: 連立一次方程式 x+y=1, x-y=1 を解く equations := { x + y = 1, x - y = 1 }: solve(equations) 例: y=-x+1, y=x-1 のグラフを描画 plotfunc2d(-x+1, x-1, x=0 .. 2):
info(solve) info(ln) ?solve help("solve") <- なぜ二重引用符で括る必要があるか？ -> 引数は文字列でないとダメ h := "help" help(h)
diff(sin(x^2), x, x, x, x, x) diff(diff(diff(diff(diff(sin(x^2), x), x), x), x), x)
1 + 5/2 (1 + (5/2 * 3)) / (1/7 + 7/9)^2 ^ -- 指数演算子 1234^123 100! fact, ! -- 階乗 isprime(123456789) TRUE|FALSE -- 真偽値 isprime -- 素数判定 Miller-Rabin test (確率的素数判定法の一種) FALSE -> 確実に合成数 TRUE -> 素数、もしくは(「ランダム」に選んだ10個の底に対する)強偽素数 ref. numlib::proveprime あまり長い桁の数値を扱うと… a := 2^(2^13)+1 length(a) isprime(a) b := 2^(2^17)+1 length(b) isprime(b) タスクマネージャーでプロセスを見てみる ifactor -- 素因数分解 ifactor(123456789) 3^2 * 3607 * 3803 a := 2^(2^5)+1; length(a); ifactor(a) b := 2^(2^7)+1 length(b) ifactor(b) "Session" -> "STOP Kernel"
sqrt -- 平方根 sqrt(56) sqrt(14)^4 limit -- 極限値を求める infinity -- 正の無限大 exp -- 指数関数 ln -- 自然対数 E -- 自然対数の底 limit((1 + 1/n)^n, n = infinity) ln(1/exp(1))
float -- 浮動小数点形式への変換(近似値計算) DIGITS -- 浮動小数点形式への有効桁数(初期値は10) float(sqrt(56)) DIGITS; float(67473/6728) DIGITS := 100; float(67473/6728); DIGITS := 10 (1 * (5/2 * 3)) / (1/7 + 7/9)^2 <- 1 (1.0 * (5/2 * 3)) / (1/7 + 7/9)^2 <- 1.0 2/3 * sin(2); 0.6666666 * sin(2) float(2/3 * sin(2)); 0.6666666 * float(sin(2)) <- ≠ 「厳密(exact)な値(無限精度)」と「非厳密(inexact)な値(有限精度)」の区別 sqrt(56.0); sin(3.14) cos(PI); ln(E) DIGITS := 100; float(PI); float(E); DIGITS := 10 Excecise 2.2: √27 - 2√3 と cos(π/8) の「厳密な」値は？ √27 - 2√3 -> 3√3 - 2√3 -> √3 sqrt(27)-2 sqrt(3) float(%) cos(A/2) = √{(1+cos(A))/2} cos(π/8) -> cos(π/4/2) -> √{(1+cos(π/4))/2} -> √{(1+1/√2)/2} -> {√(2+√2)}/2 cos(PI/8) float(%)
虚数単位: I sqrt(-1), I^2 (1+2*I)*(4+I), (1/2+I)*(0.1+I/2)^3 1/(sqrt(2)+I) 必ず x+yI という形で答を返してくれるわけではない z := 1/(sqrt(2) + I) rectform(z) Re(z) Im(z) abs(z) arg(z) conjugate(z) rectform: x+yI という形に整頓した式を返す Re: 実数部 (x+yI -> x) Im: 虚数部 (x+yI -> y) abs: 絶対値 arg: 偏角 conjugate: 共役 (x+yI -> x-yI)
reset() 例: x と y の多項式を定義して f と置く f := y^2 + 4*x + 6*x^2 + 4*x^3 + x^4 例: f を x で微分 diff(f,x) 例: f を y で微分 diff(f,y) 例: f を x で3階微分 diff(diff(diff(f,x),x),x) diff(f,x,x,x) D f' は D(f)の省略記法 例: sin を微分 sin' sin'(x) D(sin) D(sin') diff と D の違い ->荒っぽく言うと定義域が異なる diff は式に対して式を返す ex. x+x^2 -> 2*x+1 D は関数に作用して関数を返す(微分作用素) ex. (x -> x+x^2) -> (x -> 2*x+1) 現時点ではあまり差がはっきりしないでしょう これは数学の知識・学習度の問題 (紙と鉛筆と頭を使った)数学のトレーニングが大事 余談 プログラミング・実装的観点からの違い diff は builtin 関数 D はライブラリ関数 expose ... procedure (など)のソースコードを表示する expose(diff) expose(D) 数学で定義・定理を積み重ねていくのと同じこと expose(sin) expose(abs) ... 例: f を x=0..1 まで定積分 int(f, x=0..1) 例: f を x で不定積分 int(f,x) 例: f を y で不定積分 int(f,y) 必ずうまいこと「綺麗な」形で結果が帰ってくるわけではない 「初等関数」で表現できるか否か int(1/sqrt(x^2-1), x) int(1/sqrt(x^3-1), x) <- 楕円積分(でよかったっけ) 例: 不定積分・定積分 g := 1/(exp(x^2)+1) h := int(g, x) diff(h, x) s := int(g, x=0..1) float(s) plotfunc2d(g, x=0..1) MuPAD で定義されている関数一覧 see Quick Reference p11 (Chapter 8) 例: 各々の関数についての特別な値を知っている cos(0) sin(PI/2) exp(0) ln(1) 例: 特別な値でないときはそのままの形を返す sqrt(2) exp(1) sin(x+y) 例: 式を展開する(expand) 「展開」の定義は… (たとえば)和積を積和に変形してくれる (x+1)*(x-1) expand(%) exp(x+y) expand(%) sin(x+y) expand(%) tan(x+3*PI/2) expand(%) 例: 式を正規化する(normal) 「正規化」の定義は… (たとえば)既約分数の形に整頓してくれる normal((x^2-1)/(x+1)) f := x/(1+x) - 2/(1-x): g := normal(f) normal(x^2/(x+y) - y^2/(x+y)) 例: 部分分数展開(partfrac) partfrac(g) partfrac(g, x) f := x^2/(x^2-y^2) partfrac(f,x) partfrac(f,y) 例: 簡約(simplify) 「より単純な」式へ変形してくれる かなり複雑なことをしてくれる(詳細は略) (exp(x)-1)/(exp(x/2)+1) simplify(%) simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) 例: 根についての簡約(radsimp) f := sqrt(4+2*sqrt(3)) radsimp(%) x := 1/2 + sqrt(23/108); y := x^(1/3)+1/3/x^(1/3); z := y^3 - y; radsimp(z) 例: 因数分解 (factor) reset() factor(x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1) factor(2*x*y - 2*x - 2*y + x^2 + y^2) factor(x^2/(x+y) - z^2/(x+y)) # Exercise 2.3: expand((x^2+y)^5) factor(%) 例: 極限値を求める (limit) limit(sin(x)/x, x=0); # Exercise 2.5: f := sin(x)/x; limit(f, x=0); plotfunc2d(f, x=-10..10) 特異点 x=0 の処理もうまくやってくれる(ときもある) f := (1-cos(x))/x; limit(f, x=0); plotfunc2d(f, x=-PI..PI) f := ln(x); limit(f, x=0, Right); plotfunc2d(f, x=0..1) f := x^sin(x); limit(f, x=0); plotfunc2d(f, x=0..PI/2) f := (1+1/x)^x; limit(f, x=infinity); plotfunc2d(f, x=0..1000) f := ln(x)/exp(x); limit(f, x=infinity); plotfunc2d(f, x=0..10) f := x^ln(x); limit(f, x=0, Right); plotfunc2d(f, x=0..5) f := (1+PI/x)^x; limit(f, x=infinity); plotfunc2d(f, x=0..1000); float(exp(PI)) f := 2/(1+exp(-1/x)); limit(f, x=0, Left); plotfunc2d(f, x=-3..0) f := sin(x)^(1/x); ← x in [-PI/2, PI/2] limit(f, x=0); limit(f, x=0, Right); limit(f, x=0, Left); plotfunc2d(f, x=0..PI/2) 例: 関数定義 (->) プログラミングとも関連(詳細は略) 仮引数 F := x -> x^2 F(x), F(y), F(a+b), F(a+b), F'(x) G := y -> y^2 F と G は「同じ」関数 本当は ■ -> ■^2 と書きたい:-) 例: 数式 (expression) 数学系で一般的に使われる「式」と考えてよい きちんとした定義は略、例示のみ ":=" と "=" の違いに注意！ 0 1 1/2 PI x+1 x+y x^3+y+z sin(x)+ln(x) x+y+z = 1 x+y+z > 1 1 = 2 x <> 0 3 <= 1 x -> x^2 例: 集合 (set, {}) 数学系で一般的に使われる「集合」と考えてよい 要素の重複に意味はない 要素の順序に意味はない {} 空集合 {1,2,3,4,a,b,1,2,a} {a,b,1,2,3,4} {x+y+z=1, x-y-z>1} 例: 等式系・不等式系を解く (solve) solve(式) solve(式, 変数) solve(式集合, 変数集合) 例: 連立一次方程式を解く e := { x+y=a, x-a*y=b }; u := { x, y }; solve(e,u) 例: xについて解く solve(x^4 - 5*x^2 + 6*x = 2, x) solve(x^2-2*x+2 = 0, x) 例: (暗黙にxについて)解く solve(x^2 = 3) solve(x^2-2*x+2 = 0) 例: xについて解く solve(sin(x*PI/7) = 0, x) 例: xについて解く solve(cos(PI*x) = 0)← 簡約が足らなそう normal(%) 例: xについて解く(不等式なので x の範囲が求まる) solve(x^2 > 5, x) 例: xについて解く(不等式なので x の範囲が求まる) solve(x^2 <> 7, x) == solve(x^2 = 7, x) の補集合 例: 二次方程式の解の公式 piecewise ... 条件分け solve(a*x^2+b*x+c=0, x) 例: 総和 Σ (sum) sum(i, i=0..100) ← ガウスの伝記によく出てくる計算 sum(j, j=0..100) ← i でも j でも同じ sum(i, i=0..n) factor(%) sum(i^2, i=0..n) factor(%) sum(i^3, i=0..n) factor(%) sum(i^k, i=0..n) ← ここまでの一般化はちょっと無理そう # Excersice 2.7 sum(k^2+k+1, k=1..n); factor(%) sum((2*k-3)/((k+1)*(k+2)*(k+3)), k=1..infinity) sum(k/(k-1)^2/(k+1)^2, k=2..infinity) 例: 累積 Π (product) product(i, i=1..10) 10! product(i, i=1..n) ← Γ(n+1) ... ガンマ関数 n! = Γ(n+1) product((1-1/i), i=2..10) product((1-1/i), i=2..100) おもしろくもない計算だが 1/2 * 2/3 * 3/4 * ... (n-1)/n = 1/n なので product((1-1/i), i=2..n) == 1/n になる(n>1) product((1-1/i), i=2..n) ← ？？？